Diskussion:Hermitesche Matrix

Diagonalisierbarkeit

Schiefhermitesche Matrizen sind nur über C immer diagonalisierbar aber nicht über R. Und reelle Matrizen sind nicht immer über R diagbar, da sie noch nicht einmal immer trignalisierbar sind. (nicht signierter Beitrag von 134.76.163.4 (Diskussion | Beiträge) 14:55, 16. Jul 2009 (CEST))

Wird nun im Artikel geklärt. -Quartl (Diskussion) 12:09, 22. Feb. 2015 (CET)

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Schreibweise

Zitat aus dem Text: "für die komplex konjugierte Matrix früher auch A* (Vorsicht!)." Da würde ich noch dazuschreiben, dass es auch in der Physik noch so gehandhabt wird, zumindest in meinen Physikbüchern und meinem Physikstudium... Vorschlag: ...früher und in der Physik auch ... -- Tummel 11:01, 19. Jan. 2011 (CET)

Das mit dem Früher halte ich wohl für ein Gerücht, auch in der Mathematik verwendet man den Stern, das Kreuz kenne ich jedoch nicht! Das Problem an dem Stern ist nur, dass er eigentlich die adjungierte Matrix meinte, aber eine hermitesche Matrix ist ja bezüglich des normalen komplexen Skalarprodukt selbstadjungiert, man müsste sich schon was recht unnatürliches überlegen, dass die beiden Begriffe auseinanderfallen. Ich ich werds im Laufe des Tages mal versuchen anzupassen. --Christian1985 (Diskussion) 11:42, 19. Jan. 2011 (CET)

Die Nomenklatur für adjungierte Matrizen wird in Adjungierte Matrix erklärt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:09, 22. Feb. 2015 (CET)

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Selbstadjungiertheit

Ich habe einen Redirect von "selbstadjungierte Matrix" hierher gesetzt. Laut Bronstein sind die beiden Begriffe synonym, mein Physik-Prof behauptet jedoch, dass zur Selbstadjungiertheit noch gehört, dass die Eigenvektoren eine Basis des Eigenraums aufspannen. --Manuel - (Diskussion) 11:14, 14. Jul 2005 (CEST)

Die Eigenvektoren einer Hermiteschen Matrix sind immer eine Basis des Eigenraums. --Tyro 16:27, 15. Jun. 2008 (CEST)

Die Begriffe "selbstadjungierte" und "hermitesche" Matrix sind keinesfalls Synonym! Zur selbstadjungierten Matrix gehören wie gesagt die Basis des Eigenraumes. Das ist bei hermiteschen Matrizen die unendlich dimensional nicht zwangsläufig gegeben. In der Literatur werden die beiden Begriffe synonym verwendet und beispielsweise macht in der Quantenmechanik es auch keinen Unterschied, da dort alle hermiteschen matrizen auch selbstadjungiert sind. Es bleibt jedoch festzuhalten, dass es - im unendlich dimensionalen - nicht äquivalent ist. Wers nicht glaubt sollte eine gute Vorlesung zur linearen Algebra besuchen. --89.204.154.27 09:39, 16. Apr. 2013 (CEST)

In diesem Artikel soll es wohl nur um den endlichdimensionalen Fall gehen. Du suchst wahrscheinlich eher Hermitescher Operator oder Selbstadjungierter Operator. -- HilberTraum (Diskussion) 15:34, 16. Apr. 2013 (CEST)

Ein kurzer Abschnitt zu Verallgemeinerungen wäre vielleicht eine Verbesserung des Artikels.--Christian1985 (Disk) 17:36, 16. Apr. 2013 (CEST)

Die Operatoren finden sich unter "Siehe auch". Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:09, 22. Feb. 2015 (CET)

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Die Hauptdiagonalelemente sind reell?

Hmmm. Es gibt doch Hermitesche Matrizen die nichtreele Diagonalelemente haben. Die Definition muss nur angepasst werden ... man Konjugiert nur die Nichtdiagonal-Elemente von A^T.

doch, die Hauptdiagonalelemente müssen reell sein. Das sieht man vermutlich am einfachsten, wenn man sich mal ein Diagonalelement $a_{ii}$ hernimmt. Für dieses gilt, da die Matrix $A=(a_{ij})$ hermitesch ist, dass $a_{ii}={\bar {a}}_{ii}$, d.h. ein Matrixeintrag auf der Diagonalen ist gleich seinem konjugierten Eintrag (das transponieren ändert bei Diagonalelementen nichts). Damit muss aber der Eintrag selbst reell sein, denn wäre $a_{ii}$ komplexwertig, so würde gelten, dass $\Re (a_{ii})+i\cdot \Im (a_{ii})=\Re (a_{ii})-i\cdot \Im (a_{ii})$, was zu $\Im (a_{ii})$=0 führt. --Credner 7.2.2006

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Definition

In unserer LinAlg-Vorlesung wurde Selbstadjungiertheit von Endomorphisgmen dadurch definiert, dass für V ein beliebiger Skalarproduktraum $\forall u,v\in V:\langle F(u),v\rangle =\langle u,F(v)\rangle$. Da das Skalarprodukt ja nicht unbedingt das Standardskalarprodukt sein muss können mit dieser Definition auch nichtsymmentrische(-hermitesche) Endomorphismen selbstadjungiert sein. --Betsim 13:51, 2. Mai 2010 (CEST)

Ja hier geht auf jeden Fall einiges durcheinander. Eine hermitesche Matrix ist nicht zwangsläufig eine selbstadjungierte. Das wird, wie du sagtest, durch das Skalarprodukt entschieden. Genauso gut könnte auch der Redirekt Selbstadjungierte Matrix auf Symmetrische Matrix linken. --Christian1985 (Diskussion) 16:55, 11. Jan. 2011 (CET)

Siehe Selbstadjungierte Matrix. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:09, 22. Feb. 2015 (CET)

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Aufteilen des Artikels

Ich halte es für ganz sinnvoll, wenn der Teil zu den schiefhermiteschen Matrizen aus dem Artikel in einen eigenen ausgelagert würde. --Christian1985 (Diskussion) 19:39, 5. Apr. 2012 (CEST)

1. Hat Für und Wider. Aber die Engländer machen's auch so.
2. Macht Arbeit, die einen Experten braucht.

-- Nomen4Omen (Diskussion) 20:27, 5. Apr. 2012 (CEST)

Bin auch schwer dafür, ein Begriff pro Artikel macht einfach mehr sinn --NikelsenH (Diskussion) 20:09, 9. Jan. 2013 (CET)

Ich habe nun mal den Artikel aufgeteilt.--Christian1985 (Disk) 17:34, 16. Apr. 2013 (CEST)

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reelle Diagonalisierbarkeit von hermiteschen Matrizen

obwohl die hermitsche Matrix komplexe Einträge haben kann, sind ihre Eigenwerte immer reell. Also läßt sie sich mittels einer Transformationsmatrix aus der unitären Gruppe, die die (möglicherweise komplexwertigen) Eigenvektoren der hermiteschen Matrix als Spaltenvektoren hat, reell diagonalisieren. Daher sollte man wohl nicht die Unterscheidung machen, dass sich hermitesche Matrizen diagonalisieren und symmetrische Matrizen reell diagonalisieren lassen. Diese Unterscheidung kann irreführend sein. (nicht signierter Beitrag von 84.150.7.15 (Diskussion) 13:57, 3. Apr. 2013 (CEST))

Der Unterschied ist, dass im symmetrischen reellen Fall die Transformationsmatrizen reell sind. Im hermiteschen Fall ist zwar die Diagonalmatrix reell, die Transformationsmatrizen aber nicht. --Digamma (Diskussion) 14:10, 4. Apr. 2013 (CEST)

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Produkt hermitescher Matrizen

Im Artikel steht, dass das Produkt hermitescher Matrizen auch hermitesch ist, falls sie "kommutieren". Damit ist wohl gemeint, dass A*B = B*A gelten muss. Vielleicht sollte man das mal genauer erklären (Auch, wenn das nur ein Detail ist...) Ich habe das mal provisorisch auf "Eigenvektoren kommutierender Matrizen" verlinkt. Der Artikel "Kommutator (Mathematik)" ist da nicht unbedingt hilfreich, finde ich.--MitjaStachowiak (Diskussion) 17:43, 17. Sep. 2013 (CEST)

Vielleicht sollte man einfach direkt kurz ergänzen, was mit "kommutieren" gemeint ist. --Digamma (Diskussion) 19:41, 17. Sep. 2013 (CEST)

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